Non-linear reaction and diffusion models in partial differential equations with applications to aerospace and biomedical sciences .

Abstract

La modelización en ingeniería constituye un aspecto clave para entender el comportamiento de cualquier realidad. El ingeniero, habitualmente, emplea la lógica científica para la obtención de un modelo que permita predecir modos de funcionamiento en el sistema sujeto a estudio. Para los propósitos de la presente tesis, se referirán sistemas dentro de los ámbitos de la ingeniería biomédica y aeroespacial. La ingeniería tiene como base epistemológica el acceso a las ciencias puras. En la presente tesis, se desarrollan modelos que otorgan peso a un ejercicio detallado de las matemáticas que los soportan. La descripción de un fenómeno físico en ingeniería es habitualmente complejo. Para el propósito de la tesis, se considera la complejidad en relación con el ser humano [1] como parte principal en la cadena procesual del ejercicio de modelado. Al fin y al cabo, el término complejidad es relativo al sujeto que define, cataloga y clasifica un problema. Sin olvidar esta perspectiva, los procesos de modelado en ingeniería han de clasificarse como, naturalmente, complejos al involucrar una gran cantidad de variables, de las que en muchos casos, se desconoce el comportamiento preciso de su dinámica. Aquí, se introduce el alcance y el contexto de la tesis presentada, entendidos como el empleo de las ciencias matemáticas para la mejora del conocimiento de fenómenos de complejidad para el ingeniero. Durante la tesis se ha observado una parcela del mundo exterior de interés, se ha construido un mapa mental del fenómeno observado, se han formado un conjunto de ecuaciones y se han resuelto los modelos en su forma conceptual para, posteriormente, llevar a cabo un ejercicio de calibración con la realidad observada. Además. se han explorado relaciones entre el mundo real y el mundo de las ideas y abstracciones. Al hacerlo, las matemáticas han proporcionado una visión simple, unitaria e intuitiva de la parcela a estudiar. Cualquier modelo matemático, cuyo objetivo sea servir de descripción de un fenómeno, debe ser probado en situaciones y actuaciones propias de su ámbito de aplicación. En la presente tesis se lleva a cabo un análisis de aplicación de las soluciones obtenidas matemáticamente a la realidad a estudiar (Anexo II), permitiendo así, cerrar el bucle de verificación de toda actividad científica aplicada a ingeniería. Se presentan y analizan dos problemas de diferente naturaleza obtenidos mediante la observación de fenómenos de transporte de masa en los campos de la ingeniería biomédica y aeroespacial. Los modelos presentados están embebidos dentro de la teoría matemática de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales con términos de difusión no lineales y de reacción no lipschitzianos. Dichos modelos tienen como objetivos arrojar luz en procesos de depredador - presa (especie invasora - especie invadida) en sistemas biológicos, el comportamiento de la dinámica de gases para producir atmósferas inertes en tanques de combustible de aeronaves y en la descripción de los fenómenos dinámicos de transporte en la descarga de agentes extintores para la supresión de fuegos en entornos aeroespaciales. Una vez que se obtienen y justifican los modelos y sus ecuaciones rectoras, el objetivo se centra en resolver y discutir aspectos relevantes sobre las soluciones, a saber: existencia, unicidad, comportamiento asintótico, características propias y soluciones aproximadas o exactas. Además, para cada uno de los dos modelos planteados, se ha llevado a cabo una colaboración con el grupo Airbus para su aplicación en los sistemas de aeronaves citados. Durante la elaboración del presente documento, se ha realizado un estudio exhautivo del estado del arte en modelos de difusión y transporte de masa. Los detalles de tal estudio se mencionan a lo largo de la tesis con el objetivo de demostrar las mejoras en el conocimiento que supone el ejercicio llevado a cabo. Las ecuaciones que se tratan en cada uno de los apartados correspondientes presentan novedades en el marco de la teoría de ecuaciones en derivadas parciales no lineales. Dichas novedades han surgido de la aplicación de las ciencias formales a la realidad a modelar, es decir, se plantean ecuaciones con un sentido intrínseco de aplicación. Además, se encuentran aproximaciones nuevas en la forma de tratar y modelar los fenómenos de transporte en sistemas de inertización de tanques de combustible y de supresión de fuego en aviones, con el objetivo de soportar procesos más eficientes en las fases de concepción, dimensionado y diseño de aeronaves.